PREGUNTAS ABP REDACTEMOS PROBLEMAS PARA APRENDER MATEMÁTICA
1.¿Qué es el algebra?
El Álgebra es una rama de la matemática o un tipo de matemática avanzada que tiene como objetivo el estudio de la generalización del cálculo aritmético mediante expresiones compuestas de constantes (números) y variables (letras), quiere decir que las letras del alfabeto representan números desconocidos y que mediante un proceso debemos averiguar su valor.
Ejemplos:
CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
Titulo: Algebra
Creador: Wikipedia
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http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
2. ¿Cuándo y dónde surgió el algebra?
El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en la matemática para componer sus tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimiento; como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra existente hasta ese entonces.
CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRACIAS:
Historia del Algebra
Wikipedia
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http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra#Historia_del_.C3.A1lgebra
3. ¿Qué son expresiones algebraicas? Clases
EXPRESION ALGEBRAICA:
Es la representación escrita, mediante letras y signos, de un conjunto de operaciones que se han de realizar en un cierto orden.
X+2
CITAS Y REFERENCIAS:
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/matematicas/ale2.h1.jpg
Las clases de expresiones se caracterizan en:
Un monomio: si vemos que una expresión algebraica esta formada por un solo término, donde las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia esta es un monomio.
8x2y5z9
CITAS Y REFERENCIAS:
Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras.
8x2y5z9 = 2+5+9= 16
Polinomios: En matemática, polinomio, es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:
---> Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.
---> Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten con coeficiente 0.
---> El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.
Por ejemplo:
5x2 + 4y5 - 6x2
El grado de este polinomio es 5
También hay clases de polinomios como por ejemplo:
*Binomio: es toda una expresión algebraica que esta formada por dos términos
Ejemplo: 2x2 + 3xy
*Trinomio: es toda una expresión algebraica formada por tres términos
Ejemplo: 5x + 4y5 - 6x2y
EXPRESION ALGEBRAICA ENTERA:
Es aquella en la cual no hay ninguna letra bajo forma de divisor o denominador. En el caso contrario, dicha expresión algebraica se llama fraccionaria. Ejemplo:
12x2-7/4x-1
EXPRESION ALGEBRAICA RACIONAL:
Es aquella en la cual no hay ninguna letra bajo un signo radical. En caso contrario, la expresión algebraica correspondiente recibe el nombre de irracional.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS:
Definición: una expresión algebraica es fraccionaria si tiene divisores literales.
Ejemplos: 2/x+3 .
En este capítulo, estudiaremos en principio expresiones algebraicas enteras en una sola letra o variable (x), para luego ocuparnos sin detalles de las expresiones algebraicas fraccionarias y de modo menos frecuente, de las expresiones algebraicas irracionales.
Ejemplo:
MONOMIO
Un monomio es una expresión algebraica racional entera, de un solo término.
Ej.: 6a2b
POLINOMIO
Un polinomio es una expresión algebraica entera, de varios términos.
Ej.: 5x3- 2x2+ 9x - 19
CITAS Y REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
Clases de expresiones algebraicas
Rincón del vago
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http://html.rincondelvago.com/expresiones-algebraicas_monomios-y-polinomios_ecuaciones.html
http://mx.geocities.com/amiga_miraba/articulos/expresiones.html
4. ¿Cómo se despeja una expresión algebraica?
Se despeja una expresión algebraica cuando se presenta como una igualdad ya que se quiere despejar una incógnita y esos términos que la acompañan tienen que pasar al otro lado con su operación inversa con los términos que hay en ese lado; después se resuelven todas esas operaciones y hay es cuando se ha despejado la expresión algebraica.
Ejemplo:
5x + 6 = 3x + 12
5x – 3x = 12 -6
X = 6/2
X = 3
5. ¿Qué es la división de expresiones algebraicas y qué formas de dividir existen?
1 Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2 Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente
3 El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término del dividendo que no entró en la resta
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Ejemplo:
6. ¿En qué consiste el método de Horner?
Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.
*Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
*Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.
*Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
*Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.
*Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
*Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.
Solución :
Los grados del cociente y residuo serán :
q° = D° - d° = 5 – 2 = 3
r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1
Entonces: P(x) = 2x3+3x2-x+2 (cociente obtenido)
R(x) = 4x-4 (residuo obtenido)
7. ¿En qué consiste el método de Ruffini?
Esta regla, es un caso particular del método de Horner. Se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas : x ± b ; ax ± b y axn ± b.
1º Caso: Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.
Su forma general : x ± b . se opera así:
-->Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal.
-->Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo.
-->Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
-->Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.
Ejemplo:
Obtener el cociente y el resto en la división: 2x5 + x3 + 3x + 2 / x + 1
Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):
q° = D° - d° = 5 – 1 = 4
r° = d° - 1 = 1 – 1 = 0
Termino Independiente del divisor con signo cambiado
Entonces:
Q(x) = 2x4 – 2x3 + 3x2 – 3x + 6 (cociente obtenido)
R(x) = -4 (residuo obtenido)
2º Caso: Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.
Su forma general es : ax ± b
-->Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir : ( ax ± b) = a ( a ± b/a ).
-->Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer caso.
-->Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.
-->El resto obtenido no sufre alteración.
Ejemplo:
Hallar cociente y resto en : 18x5 – 29x3 – 5x2 – 12x – 16 / 3x + 2
a) Se factoriza 3 así : 3 ( x + 2/3 )
b) Dividiendo entre x + 2/3
c) Previamente se completa el dividendo con cero
Operamos así :
Ordenando y completando los coeficientes de el polinomio, tenemos :
Donde:
Cociente obtenido: 18x4 – 12x3 – 21x2 + 9x – 18
Residuo obtenido: - 4
8. ¿Qué es el teorema del resto?
El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor "a" que podemos expresar como P(a)"
Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio dado, la x por a/b".
9. ¿Qué son cocientes notables? Clases
Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.
*Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades
Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador
Simplificamos.
a2 - b2 = (a + b) (a - b)
*Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador
Simplificamos.
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
* Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
Criterios de divisibilidad
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1)
Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5, etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3, 4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los siguientes términos.
Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo del criterio de divisibilidad que se aplique):
10. ¿Cómo determinar el término enésimo en un cociente notable?
Para determinar este enésimo termino se necesita seguir estos pasos:
1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1) hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2° término irá aumentando de uno en uno a partir de cero (n-1) inclusive.
2° El desarrollo tiene “N” términos.
3° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma (x-y) los signos de los términos del desarrollo serán positivos.
4° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma “x+y” los signos de l desarrollo serán alternadamente positivos y negativos.
* Para hallar cualquier término de un cociente notable:
5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar usan do la fórmula:
-En donde: “K” es el lugar del término que se pide, “X”, representa el 1° término del denominador del cociente notable, “Y” representa el 2° término del denominador del cociente notable y “N” es el exponente común al cual están elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que aparece en el numerador.
6° Para que una expresión de la forma:
xm ± yp
xn ± yq
m = p
11. ¿Qué es factorización y para qué sirve?
12. ¿Cuántos casos de factorización existen?
Factor común monomio
Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:
Factor común polinomio
En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.
Veamos el siguiente ejemplo:
5x2 (x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x - y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)
Finalmente la respuesta será: (x -y) (5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a2 (3 +b) +3 +b
Que yo puedo escribirlo como: 5a2 (3 +b) +1(3 +b)
Entonces la respuesta seria: (3 +b) (5a2 +1)
Por agrupación de término
Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:
Diferencia de cuadrados
para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:
x2 – y2 = (x + y) (x - y)
Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde "n" pertenece a "z";
Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:
La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La suma de sus raíces cúbicas
2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1. La diferencia de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Trinomio cuadrado perfecto
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
1) Un trinomio ordenado con relación a una letra
2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos
3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
2) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b) (a + b).
3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.
Trinomio de la forma x2 + bx + c: método del aspa
Factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c
Donde “b” y “c” son números enteros, consiste en expresarlo en la forma (x + m)(x + n), es decir, x2 + bx + c = (x + m) (x + n) donde “m” y “n” son también números enteros.
Procedimiento:
Primer Paso.- Listamos todos los factores o divisores de c (positivos y negativos).
Segundo Paso.- Escogemos dos enteros m, n tales que su suma sea igual a b y su producto sea igual a c, es decir:
m + n = b
(m)(n) = c
Tercer Paso.- Expresamos al trinomio x2 + bx + c como el producto (x + m) (x + n), es decir, x2+ bx + c = (x + m)(x + n).
Observaciones
Si “c” es un entero positivo entonces “m”, “n” poseen signos iguales.
Si “c” es un entero negativo entonces “m”, “n” poseen signos opuestos.
Es posible que no existan los dos enteros “m”, “n” con las condiciones mencionadas en el segundo paso. En este caso el trinomio no se puede factorizar y decimos que es un polinomio primo.
Polinomio primo o irreducible
Un Polinomio Irreducible o también llamado Polinomio Primo, es aquel Polinomio del anillo k que no puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a “k”.
Trinomio por suma y resta (Quita y Pon)
En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Procedimiento
1.- Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.
2.- Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.
3.- Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último término, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha.
4.- Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo.
5.- Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.
EMPLEANDO EL ASPA DOBLE
Este método de factorización se utiliza para factorizar expresiones de la forma: ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
Por ejemplo:
Factorizar:
6x2 + 3xy - 3y2 + 19x +13y +10
FACTORIZACIÓN EMPLEANDO EL MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
Procedimiento
1. Se determinan los ceros del polinomio.
2. Se deduce el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica: si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) =o, entonces dichos polinomio tendrá un factor (x-a).
3. El otro factor se determina utilizando la regla de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar).
13. ¿Qué es MCM y MCD de expresiones algebraicas racionales?
Máximo común divisor de monomios
*Se halla el m.c.d. (mínimo común divisor) de los coeficientes:
*Se descomponen los números en sus factores primos.
*Se multiplican los factores primos comunes y con el menor exponente.
*Para representar el m.c.d., k, de los números a y b, se utiliza la simbología (a, b) = k
Hallar el m.c.d. de:
Máximo común divisor de polinomios por descomposición en factores
Se factoriza cada polinomio.
Se identifican los factores comunes.
El m.c.d. será el producto de los factores comunes.
Hallar, por descomposición en factores, el m.c.d. de:
Máximo común divisor de dos polinomios por divisiones sucesivas
-->Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra.
-->Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.
-->Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado.
-->Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
-->Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta
-->El último divisor es el m.c.d. buscado.
Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de:
Máximo común divisor de tres o más polinomios por divisiones sucesivas
Se halla, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de dos de los polinomios dados.
Hallamos, por divisiones sucesivas, el m.c.d. del tercer polinomio y el m.c.d. hallado en el paso anterior; éste será el m.c.d. de los tres polinomios.
Para hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. entre dos polinomios, se procede de la siguiente manera:
· Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra.
· Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.
· Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado.
· Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.
· Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta.
· El último divisor es el m.c.d. buscado.
Hallar, por divisiones sucesivas, el m.c.d. de:
M.C.M. de monomios
Se halla el M.C.M de los coeficientes numéricos.
Para lo cual, si es necesario, se descomponen en sus factores primos; y el M.C. M. será el producto de los factores comunes y no comunes y con el mayor exponente.
Se Halla el M.C.M. de la parte literal; el cual es el producto indicado de las letras comunes y no comunes y con el mayor exponente.
El M.C.M. de las expresiones será entonces el producto indicado del mínimo común múltiplo de la parte numérica y el de la parte literal.
Hallar el M.C.M. de:
M.C.M. de monomios y polinomios
Se factorizan los polinomios.
Se halla el M.C.M de los coeficientes numéricos. Para lo cual, si es necesario, se descomponen en sus factores primos; y el M.C. M. será el producto de los factores comunes y no comunes y con el mayor exponente.
Se Halla el M.C.M. de los otros factores; el cual es el producto indicado de los factores comunes y no comunes y con el mayor exponente.
El M.C.M. de las expresiones será entonces el producto indicado del mínimo común múltiplo de la parte numérica y el de los otros factores.
Hallar el M.C.M. de:
M.C.M. de polinomios
Se halla el M.C.M. de los coeficientes numéricos.
Se factorizan los polinomios.
El M.C.M. se calcula mediante el producto de los factores primos, comunes y no comunes, y con su mayor exponente.
Hallar el M.C.M. de:
